线性代数二矩阵

Wed, 20 Aug 2025 00:00:00 +0000

基本定义

行列式是数，矩阵是表

行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵

列矩阵（列向量）：只有一行的矩阵

同型矩阵

若两个矩阵的行数相等，列数也相等，则称它们为同型矩阵。

若两个同型矩阵。。。则称相等

特殊矩阵

零矩阵：元素都是0的矩阵
方阵：行数与列数都等于n的矩阵称为n阶方阵或者n阶矩阵
单位矩阵：主对角元素全为1，其余元素均为0的方阵，称为0阶单位矩阵，记为$ E_{n\times n} $ 或 $ I_{n\times n} $ $$ E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}{2\times2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}{3\times3} $$
数量矩阵：主对角元素全为k，其余元素均为0的方阵，称为n阶数量矩阵，记为 kE 或 kI
对角矩阵：非主对角元素均为0的n阶矩阵，称为对角阵。记为$ \Lambda $, 或 $ diag(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) $
对称矩阵：若方阵$ A = A^{T} $，则A为对称阵
反对称矩阵：若方阵$ -A = A^{T} $，则A为对称阵。

矩阵的数乘

$$ A_{2\times2} = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}{2\times2} \text{, } B{2\times3} = \begin{pmatrix} e & f & g \ h & m & n \end{pmatrix}_{2\times3} $$

$$ A_{2\times2} \cdot B_{2\times3} = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}{2\times2}\cdot \begin{pmatrix} e & f & g \ h & m & n \end{pmatrix}{2\times3} = \begin{pmatrix} ae+bh & af+bm & ag+bn \ ce+ch & cf+dm & cg+dn \end{pmatrix}{2\times3} = C{2\times3} $$

矩阵相乘的合法性：“内标相等”。
矩阵相乘的结果：“前行后列”。（外标）

因此，矩阵乘法不具有交换律，但满足分配率，结合率。

如: $ AB+A = A(B+E) $

$ (AB)\cdot C = A(BC) $

矩阵的转置

行列互换即$ A^{T} $

$ (A^{T})^{T} = A $
$ (A+B)^{T} = A^{T} + B^{T} $
$ (kA)^{T} = kA^{T} $
$ (AB)^{T} = B^{T}A^{T} $

$ (ABC)^{T} = C^{T}B^{T}A^{T} $

方阵的行列式

$ |A^{T}| = |A| $
$ |kA_{n\times n}| = k^n|A| $
$ |AB| = |A||B| $
$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
$ |A^{*}_{n\times n}| = |A|^{n-1} $

$ |A+B| \not = |A| + |B| $

伴随矩阵

只有方阵有伴随矩阵。

$$ A_{3\times 3} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \text{则} A^{*}= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \ A_{12} & A_{22} & A_{32} \ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix} $$

$ AA^{x} = A^{x} A = |A|E $

$ A^{*} = |A|A^{-1} $

矩阵的逆

只有方阵有逆矩阵。

对方阵A，B，若AB=E（或BA=E） => 则称A，B互为逆矩阵记为$ A^{-1} = B $, $ B^{-1} = A $

可逆即 $ |A| \not = 0 $

凑定义法

$ (A+2E)\cdot \text{?} = E $

长除法

行变换法（数字型矩阵求逆）

$ (A|E) \to\text{若干次行变换} (E|A^{-1}) $

伴随法（二阶、三阶）（数字型矩阵求逆）

$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^{*} $

对二阶：

$$ \text{若} A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}， \text{且} |A| \not = 0 \rArr \text{则} A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix} $$

拉普拉斯法（分块法）（数字型矩阵求逆）

矩阵的初等变换

初等变换（行变换）

交换两行
某行乘以数k
某行的k倍加到另外一行

利用初等变换求逆矩阵

若矩阵A可逆 <=> A可经过若干次的初等变换化为单位矩阵E。
若A可逆 <=> A可表示为若干个初等矩阵的乘积。
$ (A|E) \to\text{若干次行变换} (E|A^{-1}) $

初等矩阵

将单位矩阵E做一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

初等交换阵
初等数乘阵
初等倍加阵

初等矩阵的作用

在A的左边（或右边）乘以一个初等阵P，相当于对A进行了一次一样的初等行（列）变换。

口诀：左乘行变换，右乘列变换。

初等矩阵的逆

初等矩阵的逆仍是初等阵。

若P为初等变换阵，则P的逆为本身。
若P为初等数乘阵，则P的逆为每个元素 取倒数。
若P为初等倍加阵，则P的逆为每个元素 取负号。

矩阵的秩

行阶梯形的特点：矩阵的每一行的首个非0元素所在的列比下一行的首个非0元素所在的行都靠前。

如：

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \ 0 & 1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

利用行初等变化法化A为阶梯形B，r(A)= B中非0行的行数。

求解矩阵方程

$ A\cdot X = B \rArr X=A^{-1}B $
$ X\cdot A = B \rArr X=BA^{-1} $
$ A\cdot X \cdot B = C \rArr X=A^{-1}CB^{-1} $

线性代数一行列式

Wed, 20 Aug 2025 00:00:00 +0000

逆序数

即逆序对个数

性质

行列式的行与列互换，行列式的值不变。
行列式的某行（或列）的k倍加到另一行（或列），行列式的值不变。
行列式的某一行（或列）的所有元素的公因子可以提到行列式外面。行列式的某行（或列）元素全为0，行列式的值为0。
当行列式的某两行（或列）的元素成比例，则此行列式等于0。
当行列式的某一行（或列）的元素为两数之和时，行列式可分解为两个行列式之和。
交换行列式的两行（或列），行列式的值变号。

行列式的计算/展开

二阶、三阶直接展开

主对角线 - 副对角线^1

上三角或下三角

仅计算主对角线

倍加转换

行列式展开定理（拉普拉斯展开）

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \newline a_{21} & a_{22} & a_{23} \newline a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \newline = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3} (i=1,2,3) \newline = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+a_{3j}A_{3j} (j=1,2,3) $$

即某行（或列）元素乘以相应代数余子式再求和

代数余子式 $ A_{ij} = (-1)^{ij}M_{ij} $

M 即余子式

注：反之也成立

拆和法

当行列式的某一行（或列）的元素为两数之和时，行列式可分解为两个行列式之和。 2.当行列式的某两行（或列）的元素成比例，则此行列式等于0。

$$ \begin{vmatrix} -a_{11} & a_{11} & a_{13} \newline -a_{21} & a_{21} & a_{23} \newline -a_{31} & a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} = 0 $$

分块矩阵

见链接

应用

克拉默法则

线代精讲|框框老师

若非齐次 $ A_{n\times n} \cdot x = b $ 有唯一解 $ \Lrarr D \not = 0 $ 即 $ |A_{n\times n}| \not = 0 $
逆否
若齐次 $$ A_{n\times n} \cdot x = 0 \begin{cases} \text{只有零解} \Lrarr |A| \not = 0 \ \text{有非零解} \Lrarr |A| = 0 \end{cases} $$

Math on Blog

线性代数 二 矩阵