线性代数 一 行列式

逆序数

即逆序对个数

性质

  1. 行列式的行与列互换，行列式的值不变。
  2. 行列式的某行（或列）的k倍加到另一行（或列），行列式的值不变。
  3. 行列式的某一行（或列）的所有元素的公因子可以提到行列式外面。 行列式的某行（或列）元素全为0，行列式的值为0。
  4. 当行列式的某两行（或列）的元素成比例，则此行列式等于0。
  5. 当行列式的某一行（或列）的元素为两数之和时，行列式可分解为两个行列式之和。
  6. 交换行列式的两行（或列），行列式的值变号。

行列式的计算/展开

二阶、三阶直接展开

主对角线 - 副对角线1

上三角或下三角

仅计算主对角线

  • 倍加转换

行列式展开定理（拉普拉斯展开）

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \newline a_{21} & a_{22} & a_{23} \newline a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \newline = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3} (i=1,2,3) \newline = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+a_{3j}A_{3j} (j=1,2,3) $$

即某行（或列）元素乘以相应代数余子式再求和

代数余子式 $ A_{ij} = (-1)^{ij}M_{ij} $

M 即余子式

注：反之也成立

拆和法

  1. 当行列式的某一行（或列）的元素为两数之和时，行列式可分解为两个行列式之和。
  2. 当行列式的某两行（或列）的元素成比例，则此行列式等于0。
$$ \begin{vmatrix} -a_{11} & a_{11} & a_{13} \newline -a_{21} & a_{21} & a_{23} \newline -a_{31} & a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} = 0 $$

分块矩阵

见链接

应用

克拉默法则

线代精讲|框框老师

  1. 若非齐次 $ A_{n\times n} \cdot x = b $ 有唯一解 $ \Lrarr D \not = 0 $ 即 ($ |A_{n\times n}| \not = 0 $)
  2. 逆否
  3. 若齐次 $$ A_{n\times n} \cdot x = 0 \begin{cases} \text{只有零解} \Lrarr |A| \not = 0 \\ \text{有非零解} \Lrarr |A| = 0 \end{cases} $$

  1. Image NLine ↩︎