基本定义
行列式是数，矩阵是表
行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵 列矩阵（列向量）：只有一行的矩阵
同型矩阵
若两个矩阵的行数相等，列数也相等，则称它们为同型矩阵。
若两个同型矩阵。。。则称相等
特殊矩阵
- 零矩阵：元素都是0的矩阵
- 方阵：行数与列数都等于n的矩阵称为n阶方阵或者n阶矩阵。
- 单位矩阵：主对角元素全为1，其余元素均为0的方阵，称为0阶单位矩阵，记为$ E_{n\times n} $或$ I_{n\times n} $
- 数量矩阵：主对角元素全为k，其余元素均为0的方阵，称为n阶数量矩阵，记为 kE 或 kI。
- 对角矩阵：非主对角元素均为0的n阶矩阵，称为对角阵。记为$ \Lambda $，或$ diag(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) $。
- 对称矩阵：若方阵$ A = A^{T} $，则A为对称阵。
- 反对称矩阵：若方阵$ -A = A^{T} $，则A为对称阵。
矩阵的数乘
所有元素均乘k
区别与行列式
矩阵的乘法
$$ A_{2\times2} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}_{2\times2} \text{, } B_{2\times3} = \begin{pmatrix} e & f & g \\ h & m & n \end{pmatrix}_{2\times3} $$$$ A_{2\times2} \cdot B_{2\times3} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}_{2\times2}\cdot \begin{pmatrix} e & f & g \\ h & m & n \end{pmatrix}_{2\times3} = \begin{pmatrix} ae+bh & af+bm & ag+bn \\ ce+ch & cf+dm & cg+dn \end{pmatrix}_{2\times3} = C_{2\times3} $$
- 矩阵相乘的合法性：“内标相等”。
- 矩阵相乘的结果：“前行后列”。（外标）
因此，矩阵乘法不具有交换律，但满足分配率，结合率。
如：$ AB+A = A(B+E) $
$ (AB)\cdot C = A(BC) $
矩阵的转置
行列互换 即 $ A^{T} $
- $ (A^{T})^{T} = A $
- $ (A+B)^{T} = A^{T} + B^{T} $
- $ (kA)^{T} = kA^{T} $
- $ (AB)^{T} = B^{T}A^{T} $
$ (ABC)^{T} = C^{T}B^{T}A^{T} $
方阵的行列式
- $ |A^{T}| = |A| $
- $ |kA_{n\times n}| = k^n|A| $
- $ |AB| = |A||B| $
- $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
- $ |A^{*}_{n\times n}| = |A|^{n-1} $
$ |A+B| \not = |A| + |B| $
伴随矩阵
只有方阵有伴随矩阵。
$$ A_{3\times 3} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \text{则} A^{*}= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix} $$$ AA^{} = A^{} A = |A|E $
$ A^{*} = |A|A^{-1} $
矩阵的逆
只有方阵有逆矩阵。
对方阵A，B，若AB=E（或BA=E） => 则称A，B互为逆矩阵记为$ A^{-1} = B $，$ B^{-1} = A $
- 可逆 即 $ |A| \not = 0 $
凑定义法
$ (A+2E)\cdot \text{?} = E $
长除法
行变换法 （数字型矩阵求逆）
$ (A|E) \to\text{若干次行变换} (E|A^{-1}) $
伴随法（二阶、三阶）（数字型矩阵求逆）
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^{*} $
- 对二阶：
拉普拉斯法（分块法）（数字型矩阵求逆）
矩阵的初等变换
初等变换（行变换）
- 交换两行
- 某行乘以数k
- 某行的k倍加到另外一行
初等矩阵
将单位矩阵E做一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
- 初等交换阵
- 初等数乘阵
- 初等倍加阵
初等矩阵的作用
在A的左边（或右边）乘以一个初等阵P，相当于对A进行了一次一样的初等行（列）变换。
口诀：左乘行变换，右乘列变换。
初等矩阵的逆
初等矩阵的逆仍是初等阵。
- 若P为初等变换阵，则P的逆为 本身。
- 若P为初等数乘阵，则P的逆为每个元素 取倒数。
- 若P为初等倍加阵，则P的逆为每个元素 取负号。
利用初等变换求逆矩阵
- 若矩阵A可逆 <=> A可经过若干次的初等变换化为单位矩阵E。
- 若A可逆 <=> A可表示为若干个初等矩阵的乘积。
- $ (A|E) \to\text{若干次行变换} (E|A^{-1}) $
矩阵的秩
- 行阶梯形的特点：矩阵的每一行的首个非0元素所在的列比下一行的首个非0元素所在的行都靠前。
如：
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$- 利用行初等变化法化A为阶梯形B，r(A)= B中非0行的行数。
求解矩阵方程
- $ A\cdot X = B \rArr X=A^{-1}B $
- $ X\cdot A = B \rArr X=BA^{-1} $
- $ A\cdot X \cdot B = C \rArr X=A^{-1}CB^{-1} $